一口气开始别憋气

终于Tex调好了 刚好最近又多次提及PageRank 于是~

目测这一系列 有个两三篇blog

PageRank 是 由佩奇(Larry Page)等人提出 的 Google 最为有名的技术之一
我 乔治 甘拜下风

PageRank 是一种基于随机游走 的 评价网站权值的算法

言而总之 PageRank是一种十分重要的算法 不管在学术界 还是在产业界

# Node Similarity & Proximity

在介绍PageRank 需要先来提一下 什么叫节点相似

假设在一个有向图集合G(V, E)中研究两个节点u, v之间的相关性

上图, 我们可以从感性的认识上判断u, v之间的相似高要比u, w之间的相似度要高

那如何来具体定义相似度呢

#Common neighbor

我们很容易可以想到 好像 一个节点的邻居集合可以表征这个节点的周围结构

实际上这就是CN算法(common neighbor)

规定$CN(u, v)=nei(u)\cap nei(v)$

#Jaccard

单纯的数值对于估计一个节点的相似度 可能存在标准不统一的情况

故jaccard在CN的基础上做了一个归一化的处理

得到$Jaccard=\dfrac{CN(u, v)}{nei(u)\cup nei(v)}$

#Adamic-Adar Index

$Adamic-Adar Index=\sum \dfrac{1}{logN(v)}$

当然还可以按计算时用到部分点还是全部点来进行分类

• local
  • Common Neighbors(CN), Jaccard, Adamic-Adar Index
• grobal
  • Personalized PageRank(PPR), SimRank, Katz

事实上 节点相似度在生产过程中有极强的落地场景

尤其是和社交网络分析相关的好友推荐

另外 还可以运用在Top-k的关系发现当中

传言王者荣耀的好友推荐 就是用PPR做的

最后需要提一句 Node Similarity\not = Node Proximity

一般而言, $sim(u, v) = sim(v, u)$, 但p(u, v) ≠ p(v, u)

# Naive PageRank

$PR(u)=\sum\limits_{v \in N_{in}(u)}^N \dfrac{1}{N_{out}(v)}PR(v)$

S.t.$PR(u) \ge 0$, $\sum PR = 1$

直观上看PR值的计算是一个迭代的过程，通过出度把PR值分配给下游节点

但Naive PageRank在计算的过程中会出现一些问题

$\vec {PR} = P^T \cdot\vec{PR}$，其中$P$为行向量

故$\vec {PR}^T = \vec{PR} ^T \cdot P$

因为上述PageRank的定义是一个递归过程，所以需要一个递归停止条件-Error

$max|\vec {PR}^{(l+1)}(i) - \vec {PR}^{(l)}(i)|\le \epsilon$

其实严格上还需要证明上述递推关系的收敛性 , 事实上Naive PageRank是不一定收敛的

当然还有解的存在性，唯一性 等等

# Flaw 1 Multiple Solutions

对于图示这种情况 PR的值其实有无数钟取法

只要满足$PR_a = PR_b = PR_c, PR_p = PR_q = PR_r$

# Flaw 2 Link Spam

还是上面的例子a, b, c 此时$PR_a = PR_b = PR_c = \dfrac{1}{3}$

如果把$c->a$的边改为$c->b$, 迭代后就会造成 $PR_a = 0, PR_b = PR_c = \dfrac{1}{2}$

当一个平衡建立之后，如果因为少数几个节点的异常更改，就会造成全部PR值的改变，这就很容易导致少数几个节点操控整个系统的PR值

# Flaw 3 Dead Ends and Spider Traps

其实仔细想一想 Flaw2是因为其他节点变得没有入度造成的

那么如果有那么一些点是只入不出的，则会造成PR值随着迭代向该点聚集

这样的点 可以看做 强连通子图

# PageRank

为解决上述的问题 佩奇 提出 $PR(u)=\alpha \sum\limits_{v\in N_{in}(u)}^N \dfrac{1}{N_{out}(v)}PR(v)+ (1-\alpha)\dfrac{1}{n}$

相对于Naive PageRank 相对于做了一个平滑处理 给一个偏置量

• Flaw 1. $PR(a) = PR(b) = PR(c) = PR(p) = PR(q) = PR(r) = \dfrac{1}{6}$
• Flaw 2. 减少出现Link Spam的可能性
• Flaw 3. Doesn’t help ☹
  • 移除没有出度的节点或者结构
  • 加一条回边

正如前面所说的，因为PageRank define by 递归

所以，我们需要证明解的存在性，唯一性，收敛性，此处省略若干证明

收敛性: 我们用矩阵形式表示$\pi = \vec {PR}$

则根据上述定义可得，$\pi_v^{(t)}= (1-\epsilon)\sum\limits_{(w,v) \in E} \dfrac{\pi_w^{(t-1)}}{d_w}+\dfrac{\epsilon}{n}$

Let$Err(t)=\sum\limits_v|\pi_v^{(t)}-\pi_v^*|$

而$|\pi_v^{(t)}-\pi_v^*| \le (1-\epsilon)\sum\limits_{(w,v) \in E} \dfrac{\pi_w^{(t-1)} - \pi_w^*}{d_w}$

则$Err(t)=\sum\limits_v|\pi_v^{(t)}-\pi_v^*|\le (1-\epsilon)\sum\limits_w [\pi_w^{(t-1)} - \pi_w^* ]\le(1-\epsilon)Err(t-1)\le(1-\epsilon)^tErr(0)$

当$0<\epsilon <1$时，上述递推关系式具有收敛性

把第t轮递推式子依次带入t-1, t-2, ...

得到$\vec{PR}^{l \cdot T}=\alpha ^l\vec{PR}^{0\cdot T}P^l+\dfrac{1-\alpha}{n}\vec{1}^T(\alpha^{l-1}\cdot P^{l-1}+\cdot \cdot \cdot+\alpha P + I)$

可以看出当迭代轮数l比较大时，$\alpha ^l$会是一个小量，造成PR只剩下第二项

故$\vec{PR_v}^T=\dfrac{1-\alpha}{n}\vec{1}^T(\alpha^{l-1}\cdot P^{l-1}+\cdot \cdot \cdot+\alpha P + I)$

对于这个式子的含义学术界有很多解释

• $Random-Walk$: 看作是以概率$\alpha$留下, $1-\alpha$转移随机游走的概率值
  • $PR(v)$ = # walks ends at $\dfrac{v}{nr}$
• 看做是一个长时间随机游走的结果
• $\alpha-Walk$: 与Random Walk一致, 看做是一个以概率$\alpha$留下, $1-\alpha$转移随机游走过程，约定经过某个点，该点的$score(w) +=(1-\alpha)$
  • $\alpha-Walk$相对于Random Walk，方差更小，复杂度很低，实际效果更好，是目前研究的热点方向

Next maybe Talk About PPR/SimRank or maybe Top-k PPR

好 一口气结束 hhh

# Reference

1. The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web
2. Fast Distributed PageRank Computation
3. PageRank and The Random Surfer Model
4. bidirectional-random-walk, 大图的随机游走( 个性化 PageRank ) 算法